矩阵的秩是线性代数中的一个概念。在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数。通常表示为r(A)，rk(A)或rankA。 类似地，行秩是A的线性无关的横行的极大数目。通俗一点说，如果把矩阵看成一个个行向量或者列向量，秩就是这些行向量或者列向量的秩，也就是极大无关组中所含向量的个数。

　　中文名：矩阵的秩

　　领域：线性代数

　　公式：A=(aij)m×n

　　外文名：The Rank of Matrix

　　性质：行秩是A的线性无关极大数目

　　矩阵的秩相关定义

　　方阵(行数、列数相等的矩阵)的列秩和行秩总是相等的，因此它们可以简单地称作矩阵A的秩。通常表示为r(A)，rk(A)或。

　　m×n矩阵的秩最大为m和n中的较小者，表示为 min(m,n)。有尽可能大的秩的矩阵被称为有满秩；类似的，否则矩阵是秩不足（或称为“欠秩”）的。

　　设A是一组向量，定义A的极大无关组中向量的个数为A的秩。

　　定义1. 在m*n矩阵A中，任意决定k行和k列交叉点上的元素构成A的一个k阶子矩阵，此子矩阵的行列式，称为A的一个k阶子式。

　　例如，在阶梯形矩阵中，选定1，3行和3，4列，它们交叉点上的元素所组成的2阶子矩阵的行列式就是矩阵A的一个2阶子式。

　　定义2. A=(aij)m×n的不为零的子式的最大阶数称为矩阵A的秩，记作rA，或rankA或R(A)。

　　特别规定零矩阵的秩为零。

　　显然rA≤min(m,n) 易得：

　　若A中至少有一个r阶子式不等于零，且在r<min(m,n)时，A中所有的r+1阶子式全为零，则A的秩为r。

　　由定义直接可得n阶可逆矩阵的秩为n，通常又将可逆矩阵称为满秩矩阵, det(A)≠0；不满秩矩阵就是奇异矩阵，det(A)=0。

　　由行列式的性质1(1.5)知，矩阵A的转置AT的秩与A的秩是一样的。

　　矩阵的秩

　　引理 设矩阵A=(aij)sxn的列秩等于A的列数n，则A的列秩，秩都等于n。

　　定理 矩阵的行秩，列秩，秩都相等。

　　定理 初等变换不改变矩阵的秩。

　　定理 矩阵的乘积的秩Rab<=min{Ra,Rb};

　　当r(A)<=n-2时，最高阶非零子式的阶数<=n-2，任何n-1阶子式均为零，而伴随阵中的各元素就是n-1阶子式再加上个正负号，所以伴随阵为0矩阵。

　　当r(A)<=n-1时，最高阶非零子式的阶数<=n-1，所以n-1阶子式有可能不为零，所以伴随阵有可能非零（等号成立时伴随阵必为非零）。